海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p
=
(a
b
c),则
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
其中，s△abc
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析先从三角形最基本的计算公式s△abc
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二斯氏定理
分析在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t
2
=
证明由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三余弦定理
分析由变形②
s
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
b2
－2abcosc
对其进行证明。
证明要证明s
=
则要证s
=
=
=
ab×sinc
此时s
=
ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四恒等式
分析考虑运用s△abc
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式若∠a
∠b
∠c
=180○那么
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
证明如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得
=
①②③代入，得
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
如图可知a＋b－c
=
(x
z)＋(x
y)－(z
y)
=
2x
∴x
=
同理y
=
z
=
代入
④，得
r
2
·
=
两边同乘以
，得
r
2
·
=
两边开方，得
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
s△abc
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五半角定理
半角定理tg
=
tg
=
tg
=
证明根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得
r3
=
×xyz
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴s△abc
=
r·p
=
故得证。
三、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为在任意内接与圆的四边形abcd中，设p=
,则s四边形=
现根据猜想进行证明。
证明如图，延长da，cb交于点e。
设ea
=
e
eb
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△eab～△ecd
∴
=
=
=
解得
e
=
①
f
=
②
由于s四边形abcd
=
s△eab
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得
∴s四边形abcd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海伦公式的推广得证。
四、
海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题如图，四边形abcd内接于圆o中，sabcd
=
,ad
=
1,ab
=
1,
cd
=
2.
求四边形可能为等腰梯形。
解设bc
=
x
由海伦公式的推广，得
=
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，ad
=
bc
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。
其他方法;三角形三条边从小到大为abc。建立直角坐标系在原点处做一个半径为b的圆，在（c,0)处做一半径为a的圆。两个圆的解析式为x2+y2=b2和(x-c)2+y2=a2,联立得x=（b2+c2-a2)/2c，用勾股定理,c2-x2，将x代入得根号b2-(+c2-a2)2/4c2,
则s三角形=1/2c根号b2-(+c2-a2)2/4c2.
化简得s=根号（2bc-b2-c2+a2)(2bc+b2+c2-a2)/4.
此为秦九韶公式，再由三角恒等式可得海伦公式。
证明如上图
根据勾股定理，得
此时化简得出海伦公式，证毕。
扩展资料
公式表述
海伦公式
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得
而公式里的p为半周长（周长的一半）
证明一
与海伦在他的著作“Metrica“(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2absinC
=1/2ab√(1-cos^2 C)
=1/2ab√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
=1/4√
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√
=√
所以，三角形ABC面积S=√
证明二
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术“。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半“，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术“。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术“即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实“，作1作为“隅“，开平方后即得面积。
所谓“实“、“隅“指的是，在方程px 2=q,p为“隅“，q为“实“。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2c^2-^2}
当P=1时，△ 2=q,
△=√1/4{a^2c^2-^2}
因式分解得
△ ^2=1/4
=1/4
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S△=√
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式“。
S=√1/4{a^2c^2-^2} .其中c》b》a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边)
代入解得s=8√ 3
证明三
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
=tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明四
通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)
资料拓展
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 （Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。
参考资料
海伦公式的百度百科
海伦公式最简单证明是在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，则S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。
海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。它的特点是形式漂亮，便于记忆。相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
海伦公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
证明（1）
与海伦在他的著作“Metrica“(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2absinC =1/2ab√(1-cos^2 C) =1/2ab√
证明（2）
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2c^2-^2} .其中c》b》a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 代入解得s=8√ 3
证明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 证明(4) 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c),则
S△ABC
=
aha=
ab×sinC
=
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
=
其中，S△ABC
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
S=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析先从三角形最基本的计算公式S△ABC
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
S△ABC
=
aha=
a×
=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二斯氏定理
分析在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t
2
=
证明由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
S△ABC
=
aha
=
a
×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三余弦定理
分析由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四恒等式
分析考虑运用S△ABC
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式若∠A+∠B+∠C
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得
+
+
=
①②③代入，得
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理y
=
z
=
代入
④，得
r
2
·
=
两边同乘以
，得
r
2
·
=
两边开方，得
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
S△ABC
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五半角定理
半角定理tg
=
tg
=
tg
=
证明根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得
r3
=
×xyz
海伦公式就是用三角形三边长表示出三角形面积的一个公式.
从三角形其中一顶点向对边作高,已知三边长,可用勾股定理列方程组表示出高,再用底乘高除以2即可证明.
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s
s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明
与海伦在他的着作“Metrica“中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为
\cos(C)
=
\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
\sin(C)
=
\sqrt{1-\cos^2(C)}
=
\frac{
\sqrt{-a^4
-b^4
-c^4
+2a^2b^2
+2b^2c^2
+2c^2a^2}
}{2ab}
三角形的面积S为
S
=
\frac{1}{2}ab
\sin(C)
=
\frac{1}{4}\sqrt{-a^4
-b^4
-c^4
+2a^2b^2
+2b^2c^2
+2c^2a^2}
=
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
的等号部分可用因式分解予以导出。
